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By chipocludoshdez | Updated: June 30, 2024, 1:38 a.m.

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conjuntos ortonormales de vectores
La extencion de un espacio vectorial a un espacio euclidiano
Introduccion
En álgebra lineal, un espacio vectorial se convierte en un espacio euclidiano al introducir un producto interno, una función que asigna un número real a cada par de vectores y cumple propiedades como bilinealidad, simetría y positividad. Esto permite definir longitud y ángulo, enriqueciendo la geometría del espacio. Un conjunto de vectores es ortonormal si son mutuamente ortogonales y cada uno tiene norma uno. Los conjuntos ortonormales simplifican operaciones como la descomposición de matrices y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, permitiendo expresar cualquier vector como combinación lineal de vectores ortonormales.
Que es una extencion de un espacio vectorial?

Un espacio vectorial se refiere a la creación de un nuevo espacio vectorial que contiene al espacio vectorial original como un subespacio propio. Este nuevo espacio vectorial tiene una mayor dimensión que el original. En términos simples, es un "aumento" del espacio original añadiendo vectores que no estaban en el espacio inicial.
Propiedades de un espacio vectorial
1. Asociativa de la suma. 
(u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v, w ∈ V 
2. Conmutativa de la suma. 
u + v = v + u, ∀u, v ∈ V 
3. Existencia de elemento neutro para la suma. 
∃ 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u, ∀u ∈ V  
4. Existencia de elemento opuesto para la suma. 
∀u ∈ V ∃(−u) ∈ V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0
5. Distributiva respecto de la suma de vectores. 
α(u + v) = αu + αv, ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V 
6. Distributiva respecto de la suma de números reales (o escalares). 
(α + β)u = αu + βu, ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ V 
7. Pseudo-asociativa. 
α(βu) = (αβ)u, ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ V 
8. Elemento identidad para el producto. 
1u = u, ∀u ∈ V (1 ∈ R) 
ejemplo de una extension de un espacio vectorial
El conjunto de n-uplas de Rⁿ = {(x1, . . . , xn) | xi ∈ R, i = 1, . . . , n} con la suma de vectores y el producto por números reales usuales. 
•El conjunto de matrices Mn×m(R) con la suma de matrices y el producto por números reales usuales.
El conjunto Pn = {a₀ + a₁x + · · · + anx ⁿ | a₀ + a₁, . . . , an ∈ R} con la suma de polinomios y el producto por números reales usuales. 
El conjunto de vectores x ∈ R m tales que Ax = 0V , donde A ∈ Mn×m(ℝ) y 0V ∈ R n es el vector nulo. 
El conjunto de funciones definidas en un intervalo f : [a, b] → ℝ, con la suma de funciones y el producto por números reales usuales.
Y que Es un Espacio Euclidiano?
El espacio euclidiano es la representación geométrica del espacio físico, sobre el cual se posicionan las figuras geométricas. Este espacio constituye el plano fundamental de la geometría y está construído como un espacio vectorial real, de dimensiones finitas, dotado de un producto escalar. O en otras palabras, como un conjunto de vectores en coordenadas predecibles.
Un espacio euclidiano es un espacio afín sobre los reales tal que el espacio vectorial asociado es un espacio vectorial euclidiano. Los espacios euclidianos a veces se denominan espacios afines euclidianos para distinguirlos de los espacios vectoriales euclidianos.
Si E es un espacio euclidiano, su espacio vectorial asociado (espacio vectorial euclidiano) es a menudo denotado {E}
 El dimensión de un espacio euclidiano es la dimensión de su espacio vectorial asociado.
Espacio euclidiano

Llamaremos espacio euclídeo a un espacio vectorial dotado de un producto escalar.
El producto escalar se denotará por u · v. También se puede utilizar la notación <u,v>.

Propiedad: En un espacio vectorial euclídeo (V,·) se cumple que:
Para cualquier vector u ∈ V se tiene que
V · 0=0
En conclusión el único modo de que se anule V· V es para el vector nulo V = 0. Pues si V no puede ser igual a 0 entonces
V · V > 0
y cual es la extension de un espacio vectorial a un espacio euclidiano? 
PRODUCTO INTERNO Espacio vectorial=V Un producto interno sobre V es una operación que se asigna a cada par de vectores u y v en V un número real (u,v). Un producto interior sobre V es una función que asosia un número real (u,v) con cada par de vectores (u,v) y cumple con las siguientes axiomas: PROPIEDADES: (v, v) ≥o (v, v) = o si y solo si v=O. (u, v + w) = (u, v) + (u, w) (u+v, w) = (u, w) + (v, W) (u, v) = (v, u) Espacios con producto interior El producto interior euclidiano es solo uno o mas de los productos internos que se tiene que definir en Rn.

Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación: U * v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn) ( u , v )= producto interno general para espacios vectorial V Propiedades --- productos interiores: ( O , v ) = (v, O) =O (u + v, w ) = (u, w) + (v, W) (u, cv) = c(v, u)
Conjuntos ortonormales de vectores !
Conclusion
 En conclusion es que un Espacio Vectorial: Conjunto de vectores con operaciones de suma y multiplicación por escalares, cumpliendo propiedades como asociatividad y distributividad.

Espacio Euclidiano: Espacio vectorial con un producto escalar que define longitud y ángulo entre vectores, cumpliendo propiedades de simetría, positividad y la desigualdad del triángulo.

Conjuntos Ortonormales de Vectores: Conjuntos en un espacio euclidiano con vectores de norma 1 y ortogonales entre sí. Facilitan descomposiciones únicas y operaciones como proyección y resolución de sistemas de ecuaciones.

Estos conceptos son esenciales en geometría y análisis, útiles en diversas disciplinas para la representación y manipulación de datos en un espacio matemático estructurado.
REFERENCIAS
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